社會選擇理論：由土地大辯論說起

歷時五個月，「土地大辯論」終在九月底落幕。這是一次很大規模的民意諮詢，近年只有一四年及一零年的政改方案可媲美。無論是土地大辯論或政改，都旨在蒐集個人意見，並將之總合，成為社會之整體意向。這種工作，正是「社會選擇理論」(social choice theory)之研究對象。其實，上次政改辯論之時，已有學者引用社選理論之觀點，包括著名的「亞羅不可能定理」(Arrow’s impossibility theorem)，以助證其論點。此誠為好事，有助提昇公共事務討論之質素。只是社選理論較複雜，很難在報章上，以短小的篇幅說出所有重點。筆者不吝淺陋，希望藉今次「大辯論」，介紹一些遺留重點。必須留意，本文旨不在批評或支持土地大辯論的具體方案，但求藉大家熟知的例子，點出若干社選問題而已。

過往傳媒提及社選理論之時，往往只涉及政治投票，其實社選理論的應用範圍甚廣，若須整合民意，即使不涉及投票，該理論也適用。可是，大學裏的經濟課都少有提及它，如有，也多只提一些結論(民主如何不可能)，遑論詳細介紹，更別說加以證明。但是，若沒有這些介紹或證明，這理論很易被誤解。筆者希望本文有助減少誤解。

土地供應專責小組在五個月來，透過不同途徑蒐集民意。以其網上調查為例，它列出十個土地供應的中長期選項，市民可選取或不選取，小組會綜合這些民意，初階段只會篩選出若干熱門選項，不作排序，後階段則會作出排序。這裏其實涉及兩種不同的社選問題：若蒐集民意只為篩選而不作排序，須用上social choice correspondence(註1)，這術語很難翻譯，若直譯為「社選對應」，頗有點不知所云。至於蒐集民意以作排序，所求者乃「社福函數」(social welfare function)。筆者不厭其煩地指出這區分，皆因社選理論涉及不同問題與解決方案，在不同處境下，困難亦不盡相同。以大眾較熟知的「亞羅定理」言，實只涉「社福函數」而已(註2)。

當然，「社福函數」也很重要，若果它是「不可能」的，則很多民意問題將變成虛幻，包括供應小組的後階段工作。就此，不得不解釋一下「亞羅定理」的確實含義。

幾乎所有對「亞羅定理」的簡介，都以下例說明。假設有三個候選人X、Y及Z，以及三個選民。首位選民對候選人的排序是X最好，Y次之，Z最差，簡單記述為「X>Y>Z」。第二及第三選民的排序分別為「Y>Z>X」及「Z>X>Y」。如何將這些民意整合，以求得社會的排序呢？這便需要一個「社福函數」，一般人熟知的「民主投票」方式「過半者勝」(majority voting rule)便是一例。問題來了，若以這方式為X及Y排序，第一及第三選民均認為X勝Y，這已過半數，故社會排序當為X>Y。同樣道理，社會排序是Y>Z及Z>X。如此一來，排序轉了一圈，序不成序(可參看表1)。

表1 (組合1)

何人	個人排序	社會排序
1	X>Y>Z	X>Y>Z>X
2	Y>Z>X
3	Z>X>Y

其實，這個例子還不算是「亞羅定理」。這例子稱為「康多塞困局」(Condocet paradox)，早由法國數學家康多塞在十八世紀提出，亞羅(Kenneth Arrow，72年諾奬得主)則在二十世紀中才提出其定理。兩者的關係是：「康多塞困局」只證明了「過半者勝」之不可能，我們不可因此便說，所有整合民意的方法(不限於投票方式)均不可能，若能證明後者，才算震撼，而這正正由亞羅證明了。

亞羅竟然能證明，所有整合民意成社會排序的方法均不可能，這當然是極大的學術成就。但這又是否表示，所有整合民意的方法均為錯謬，只是一般人不明白，繼續做傻事呢？這亦不確。正如上述，「亞羅定理」只關乎「社福函數」，若我們只求「社選對應」或其他整合民意的方式(註3)，則「亞羅定理」不直接適用，此其一。

其二，更重要者，亞羅所證明之「不可能」，是在一定準則下之「不可能」。打個譬喻，一個運動員可不可能達標，視乎我們的標準。亞羅提出了六個標準，這好比要求一個運動員要六項全能，這不可能，但不代表五項全能也不可能。當然，如果亞羅的要求過高，那他證明了「不可能定理」也不算甚麼，「亞羅定理」之所以廣受注意，正在於他的標準都看似很適當。六項全能是不可能的，但放棄其中一項，只求五項全能，又覺得每項都難以放棄，誠是難題，「亞羅定理」之偉大在此。

不過，既知五項全能是可行的，困難的決擇最終還是要做，說整合民意絕不可能，是言過其實了。但要放棄何者呢？我們便須先了解亞羅的六項標準之具體含義(註4)，這便非三言兩語可盡了。本文只簡介其中一個準則，並以土地大辯論說明。

以上述三位選民對XYZ的排序組合為例(簡稱「組合1」)，發覺「過半者勝」行不通。但假使上述第三位選民的排序並非「Z>X>Y」，而是「Z>Y>X」呢？同用「過半者勝」法，過半人的排序變成：「Y>X」，「Y>Z」及「Z>X」，整體排序就是「Y>Z>X」，今次再沒問題了，此組合可稱為「組合2」(可參見表2)。可是，亞羅的準則卻是，不可以先天地剔除任何一種民意組合，因此，無論是「組合1」或「組合2」，一律允許，此準則稱為「意見不拘」(unrestricted preference/domain)。這準則合理，因為民意有多種多樣，既為整合民意，但又事先剔除某種民意，便有失整合之原意。但若不剔除如「組合1」般之民意，又難免有時無法整合出社會排序，那如何是好？

表2 (組合2)

何人	個人排序	社會排序
1	X>Y>Z	Y>Z>X
2	Y>Z>X
3	Z>Y>X

解決方法不能只看排序形式，也要看內容，若我們知道一般人不太可能有「Z>X>Y」此排序，多數只會排「Z>Y>X」，那我們便可以說，雖然我們不會剔除「組合1」之邏輯可能，但實際上應該沒人排「Z>X>Y」，故「組合1」不須被考慮，「過半者勝」雖在邏輯上可產生循環排序，但實際上不會。

以土地選項為例，若X代表填海，Y代表棕地，Z代表碼頭用地，實際上市民會怎樣排列這些選項呢？合理假設，看重土地面積多寡者的排序是「X>Y>Z」，重保育者的排序可能是「Z>Y>X」，也可能是「Y>Z>X」。至於「Z>X>Y」則頗奇怪，他們可能是棕地使用者，故最不喜歡Y，但他們也沒理由喜歡Z——若改建碼頭，可能影響了棕地作業，皆因不少棕地是碼頭後勤作業地。如果實際上沒人喜歡「Z>X>Y」，正如「組合2」所示，「過半者勝」已可順利得出整體排序。再退一步，即使真的有人排「Z>X>Y」，但人數不多，也不礙事。簡單假設，只有一人排「Z>X>Y」，至於其餘三種排序，則各有二人採納(稱為組合3)，如此一來，整體排序便是「Y>Z>X」，沒有循環(可參見表3)。

表3 (組合3)

人數	個人排序	社會排序
2	X>Y>Z	Y>Z>X
2	Y>Z>X
1	Z>X>Y
2	Z>Y>X

必須注意，由「不可能」變「可能」，關鍵是放棄了「意見不拘」這準則。雖然，我們根據選項的內容，判定市民不會採納某種排序，但始終不是「不拘」，而是「有拘」。

認定市民意見不會是「Z>X>Y」後，餘下之意見組合，行內術語稱為「單峰」(single-peaked)的組合。筆者無法在此詳細解釋「單峰」的意義，簡單來說，若我們畫一幅圖來表達「組合2」，橫軸是XYZ，縱軸是意見排序，排得愈高則在此軸上位置愈高，每人的對XYZ的排序可畫成喜好曲線。可以發現，「組合2」中所有人的喜好曲線均只有一個峰(見圖1)，但「組合1」中第三市民的喜好曲線呈「雙峰」(見圖2)。「組合1」造成社會選擇之困難，「組合2」則不會，關鍵在於喜好曲線是「單峰」還是「多峰」形態。如果都是「單峰」，則肯定沒問題(譬如組合2)，如果有「多峰」，則不能肯定(如組合1及組合3所示)。政治學者通常認為，在政黨投票上，選民的意見多數呈「單峰」狀，因此，用「過半者勝」也沒問題。在其他場合呢？就要看具體的選項內容了，如上所述，在某些土地選項上，「單峰」也算合理，但若換上其他選項，便要再看了。

總結一下，無論政治投票或其他整合民意的工程，都與社選理論關係甚大。一方面我們很希望透過蒐集民意，總合成社會對選項的排序，一方面「亞羅定理」又說這是「不可能」的任務，豈非枉費心機？應該指出，「亞羅定理」沒說整合民意總是不可能，它只是說，沒有「六全其美」的方法，但可有「五全其美」的方法。至於要放棄那一「美」，就要看具體情況。本文簡介了放棄其中一「美」的考量，沒時間多談其他「五美」了。重點是，我們必先認清這些「美」的準則，才能判斷沒有「完美」是多難接受，才可知曉「缺陷美」所涉的缺陷是甚麼。

註釋：

1. Social choice correspondence是相對新的概念，主要參考文獻有Barberà, S., Dutta, B., & Sen, A. (2001). Strategy-proof social choice correspondences. Journal of Economic Theory, 101(2), 374-394。
2. 嚴格來說，須再細分為single-profile及multiple-profile social welfare function。亞羅定理只屬後者。
3. 譬如social choice function, stochastic social choice function等等，涵蓋了(但不限於)不同的民主投票方式。
4. 直接施於social welfare function的準則只有四項，但亞羅另有兩項對社會排序的要求，加起來是六項。一般文獻有時只說有四項準則，後兩項要求則不視為準則，但因後兩項要求亦可放寬，為求簡單，本文只說六項準則，不說四加二。對這些準則或要求的詳細介紹，可參考Sen, A.K. (2017). Collective choice and social welfare: Expanded edition. Penguin UK。