近期有關「明日大嶼」之爭議再起。有趣的是，「民意」沒一面倒支持，也沒一面倒反對，無論做或不做，都有不少人失望，誠是難題。這種情況，涉及「社會選擇理論」（social choice theory）上之重要課題，筆者藉機介紹一下。
2018年12月，筆者在信月為文（下稱舊文）介紹了社選理論一些基礎知識，並涉及著名的「亞羅不可能定理」（Arrow’s impossibility theorem）。社選理論探討如何總合民意以作集體決定，課題與政策制定極相關，但內容較抽象艱澀，不料舊文收到的讀者迴響卻相對多，今再簡介一些重要概念，包括媒體偶有引用的Gibbard-Satterthwaite（GS）定理，希望多用例子少說理，以助大眾掌握若干概要。
根據土地供應小組在2018年底之報告，支持在東大嶼填海之意見達58%。一年多後，香港民意研究計劃就「明日大嶼」作調查，亦有50%反對擱置填海。後者帶出一問題，若民意只一半半，是否不應做任何事？這又不一定。譬如說，倘一半人強烈支持某一方，另一半只稍稍支持另一方，如此一來，不做不見得是好。可是一般民意調查，都沒能反映意欲強度（preference intensity），當局無從參考。用民調蒐集意欲之強度，不難，有些民調也有做，譬如列出數選項——非常支持、支持、反對、非常反對等。不做，原因何在？這便涉及社選理論一大課題——須防止用謀略致勝（strategy-proofness）。
簡單言，選民會否不按真心投票？民調受訪者會否在受訪時說謊？若會，這當然不理想，故須設計一些機制，令「用謀」不能得逞，且先看數例。
例1（議會投票）：選項有X、Y及Z三個，而在席議員有五，兩人投給X，兩人投給Y。最後一人喜歡Z，但他知道Z一定不夠票，而在X與Y間，他較喜歡X；此外，議事規則訂明，若有選項票數均等，主席可投下決定性一票，據知主席會投給Y，故這議員寧投X而不投Z，X勝。他用謀得逞了，亦反映了此投票設計之缺失，未足以「防謀」。
例2（民調）：民調通常只問支持或不支持。受訪者知道，若整體結果與自己之意向同，則有助爭取政策偏向己方，反之則不利。如此一來，支持者沒理由答不支持，不支持者亦不會答支持，符合「防謀」之理想。
例3（民調）：除支持或不支持外，可答非常支持或非常不，如此一來，即使受訪者只是略為支持，但答非常支持更佳，因聲音愈強烈，才有愈多人聽到，同樣道理，稍不支持者答非常不支持更好，「防謀」失敗了。
當然，無論投票或民調，都有不同處境，選民或受訪者說謊的動機強弱不一，未能「防謀」，亦未必有人「用謀」，但能「防謀」肯定是一優勢。不過，例3顯示，簡單方法不足以「防謀」。問題來了，為政須把握意欲強度，但強度有多大呢？又難以知曉，如何是好？
有關「防謀」之社選理論，以GS定理最重要。順帶一提，該理論由哲學家Allan Gibbard及經濟學家Mark Satterthwaite近乎同時發展出，Gibbard雖然是哲學家，但天才橫溢，精通數學，在哈佛一篇學生論文，後來竟成為傳世的社選論文。
GS定理指出，不存在妥善的防謀之法。這結論看似悲觀，但須小心詮釋。有時它被解讀為，任何民主投票方式，都難免被選民利用，透過策略投票（如例1所示）得益。此等解讀有多準確呢？
其實，但凡社選理論判定某些事不可能，我們都應小心詮釋，筆者之舊文在簡介亞羅定理時，已作出類似警告。簡單言，所謂的「不可能」，指不可滿足所有條件，亞羅定理沒說不可用民意為選項排序，只是不能同時滿足六個條件，「六項全能」不存在，要排序必須放棄至少一個條件。至於何者可放棄，何者不可，則大有爭辯空間。
同樣道理，GS也只在一定條件下有效，最簡單的條件是，選項多於二，若只有二，則「防謀」有法。從例2可見，若選項只有支持或不支持兩項，則沒用謀之餘地。必須留意，例2是單純的民調，若非單純民調，譬如為測量選舉投票意向而做之民調，則受訪者仍有動機說謊，因真戰場在選舉，不在民調。
有趣的是，GS定理與亞羅定理密切關連，甚至可以說，因為亞羅定理成立，所以GS成立（註1）。於是，我們可透過前者以理解後者。如上所述，破解亞羅難局，須放棄六個條件中之其一，筆者在舊文只介紹了一個條件——「意見不拘」（unrestricted preference/domain）——若意見拘限於「單峰」狀（single-peakedness），則可破局：一方面，亞羅難局可破，用民意排序沒問題；另一方面，GS難局也破解了，有法子「防謀」（註2）。何謂「單峰」？今只舉一例說明，左傾選民之優次排序當為「左、中、右」，不會是「左、右、中」，前者為單峰，後者否，可見單峰是合理假設。筆者在舊文有詳細介紹，在此不贅。
現再介紹另一亞羅條件，與意欲強度有關，稱為「不受不相干者影響」（independence of irrelevant
alternatives，簡稱IIA）。簡單來說，為X、Y「排序」之時，應只看個人對X、Y之「排序」為何，不應看他們如何排X、Z或Z、W之類，後者是不相干資料。可是，一般的投票機制都違反IIA，例1中之關鍵議員排序是ZXY，一旦改成XZY，雖然個人對XY排序沒變，但投票結果變成X勝Y，不是Y勝X（主席平局下投給Y），這便違反了IIA。
諾奬（98年）得主亞馬蒂亞森（Amartya Sen）指出（註3），IIA無視意欲強度，只看個人如何排列X、Y，不理對X、Y之喜惡多強多弱。如此一來，IIA之合理性更成疑，問題是，如何得知意欲強度呢？這回到文首提出之困難，測量強度帶來用謀之虞。再看GS定理，它與亞羅定理邏輯上相關，在IIA方面，可以證明，若要防謀，則IIA不可放棄（註4）。由此可見，兩定理互相支持，是難兄難弟：一方面，亞羅定理是GS定理成立之基礎，另方面，GS定理強化了亞羅定理，亞羅須假設IIA成立，這看似不合理，原來大有道理，因要防謀，IIA放棄不得！
說來說去，始終沒法既防謀，又能測量意欲強度。但別忘記，GS只在一定條件下有效，要破解困局，須放棄一些條件，現再介紹另一條件——機制確保必有且只有一位勝者，絕對沒和局。這看似合理，但一般投票機制都無法做到，設X、Y及Z票數相同，主席又沒特權，則三者均勝。這時，唯有抽籤決定，但GS不容隨機因素介入，若容許，則有方法既能防謀，又能測量意欲強度，請看下例。
例4：設有二人，選項有三，X、Y及Z，每人可給最佳選項1分，最差項0分，中間項1-V分，1>V>0。若二人之最佳選項相同，則該選項當選。若其中一選項，假設是Z，二人同意它差於其餘選項，則抽籤決定X還是Y勝。若二人分別排XYZ及ZYX，且其中一人給Y低於0.5分，則抽籤定X還是Z勝。其他情況，則兩個最佳選項勝出機率同為0.5-D，中間選項勝出機率是2D，D≤V/2(1+V)。
讀者可嘗試分析，何以例4之機制既可測量出意欲強度1-V，也可「防謀」，是有點複雜，答案請參看原作者之解釋（註5），在此不贅。
最後，GS排除了將選項與費用掛鈎（註6），若容許，GS困局可解，有一種稱為Clarke-Groves稅的機制可用，不過，它較適合測量單一項目（如填海），但規模可大可小者（填多填少）之需求，而非性質不同的幾個選項（如先拓棕地或先填海）。此外，GS將「防謀」的定義收得很窄，它要求絕對防謀，而非較大機會可防謀。若加放寬，則又多了些方法可用（註7）。
總言之，本文希望帶出以下訊息：1.有些社會抉擇須考慮意欲強度，單考慮支持或不支持乃有所欠缺。2.須注意蒐集民意之法可否「防謀」，若不可，所得民意不一定可靠。3.「防謀」不易，但非不可能，要注意不同情況下有何法可用。
社會選擇有不少困難，但隨着理論不斷發展，亦研發了不少新方法，當局若善加利用，可助其施政。不過，筆者認為更關鍵者，是大眾對此有多點認識，大眾若不明白，施政難以順利推行，多點公眾教育，乃刻不容緩。
註1：確切意義是，可以用亞羅定理以證明GS成立，須參看Gibbard之原文，筆者則推介Endriss,
U. (2011), Logic and Social Choice Theory, in Logic and Philosophy Today,
J. van Benthem and A. Gupta, eds., College Publications. 該文較簡易。
註2：Moulin, H.
(1980), On Strategy-proofness and Single Peakedness, Public Choice, 34:
87–97.
註3：Sen, Amartya (1970), Chapter 8, Collective
Choice and Social Welfare. Holden-Day Inc.
註4：有關論述源於Blin, J.
M., & Satterthwaite, M. A. (1978). Individual decisions and group
decisions: The fundamental differences. Journal of Public Economics,
10(2), 247-267. 註1提及Endriss之文章也有相關證明。
註5：Dutta, B.,
Peters, H., & Sen, A. (2007). Strategy-proof cardinal decision schemes. Social
Choice and Welfare, 28(1), 163-179.
註6：這與「意見不拘」之假設有關，將選項與費用掛鈎涉及放棄了該假設，簡介可參看Campbell, D. E.
(2018). Chapter 8, Incentives: Motivation and the economics of information.
註7：可參看Hortala-Vallve,
R. (2012). Qualitative voting. Journal of theoretical politics, 24(4),
526-554.及Kim, S. (2017).
Ordinal versus cardinal voting rules: A mechanism design approach. Games and
Economic Behavior, 104, 350-371.
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